[산업안전일반] 정성적 분석 (컷셋, 패스셋)

📊 정성적 분석 (컷셋, 패스셋)

1. 정성적 분석 (Qualitative Analysis)

컷셋과 패스셋을 구하는 과정을 통틀어 FT도의 '정성적 분석(Qualitative Analysis)'이라고 부른다.

• 정성적 분석: 수치(확률)를 넣기 전에, "도대체 어떤 부품들이 고장나면 시스템이 멈추는가?" 구조 자체를 파악하는 단계이다.
• 즉, 컷셋과 패스셋은 시스템의 고장 구조(Cut Set)와 성공 구조(Path Set)를 보여주는 '시스템 상태 결정 집합'들이다.

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2. 컷셋 (Cut Set) : "끊어버리는 집합" ✂️

"시스템의 성공을 끊어(Cut) 버려서 고장나게 만드는 집합"이다.

• 의미: 이 집합 안에 있는 부품들이 동시에 고장 나면, 전체 시스템이 고장(Top Event) 발생한다.
• 비유: 다리를 지탱하는 밧줄이라고 생각하였을 때, 컷셋에 해당하는 밧줄들이 끊어지면 다리가 무너진다.
• 목적: "시스템을 고장 내려면 무엇을 망가뜨려야 하는가?"를 찾는다.

⭐ 최소 컷셋 (Minimal Cut Set, MCS)

컷셋 중에서도 '제일 알짜배기'들만 모은 것이다.

• 그 집합에서 부품을 하나라도 빼면 고장이 안 나는 상태이다.
• 의미: 시스템을 망가뜨리는 가장 빠른 지름길이다. (가장 위험한 부분)
• 활용: 안전 관리자는 이 MCS를 없애거나 확률을 줄이는 데 집중해야 한다.

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3. 패스셋 (Path Set) : "살아남는 집합" 🛣️

"시스템이 정상적으로 작동할 수 있도록 연결된 통로(Path) 집합"이다.

• 의미: 이 집합 안에 있는 부품들이 고장 나지 않으면(작동하면), 나머지 부품이 다 고장 나더라도 시스템은 성공(작동)한다.
• 비유: 강을 건너는 징검다리로 보았을 때, 다른 돌이 없어져도 패스셋에 해당하는 돌만 무사하면 강을 건널 수 있다.
• 목적: "시스템을 살리려면 최소한 무엇이 살아있어야 하는가?"를 찾는다.

⭐ 최소 패스셋 (Minimal Path Set, MPS)

패스셋 중에서도 '최소한의 생존 조건'이다.

• 여기서 부품 하나라도 고장 나면 시스템이 멈추는 상태이다.
• 의미: 시스템의 신뢰성을 보여준다.

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4. 예시 (직렬 vs 병렬)

상황 A: 직렬 연결 (OR 게이트)

전선 한 줄에 스위치 A와 스위치 B가 일렬로 있다.

• 컷셋 (고장 내는 법):
  • A가 고장 나면 불 꺼짐. (집합: {A})
  • B가 고장 나면 불 꺼짐. (집합: {B})
  • 결론: 하나만 고장 나도 망함. (위험함)
• 패스셋 (살리는 법):
  • A와 B가 둘 다 살아있어야 불이 켜짐. (집합: {A, B})

상황 B: 병렬 연결 (AND 게이트)

전선 두 줄로 나뉘어 스위치 A와 스위치 B가 따로 있다.

• 컷셋 (고장 내는 법):
  • A랑 B가 동시에 고장 나야 불 꺼짐. (집합: {A, B})
  • 결론: 둘 다 고장 나야 망함. (안전함)
• 패스셋 (살리는 법):
  • A만 살아도 됨. (집합: {A})
  • B만 살아도 됨. (집합: {B})

4.1. 직렬 연결 (외길 다리) → 왜 OR 게이트인가?

강을 건너는데 다리가 하나뿐이고, 그 다리가 A구역과 B구역으로 이어져 있다.(직렬)

• 우리의 평소 생각 (성공 관점): "내가 강을 건너려면 A구역도 멀쩡해야 하고 그리고(AND) B구역도 멀쩡해야한다." -> 이러한 이유로 직렬을 보면 자꾸 AND가 떠오르는 것이다.
• FTA의 생각 (고장 관점 - "언제 못 건너지?"): FTA는 "언제 망하는가?"를 따지는 것이다. "A구역이 무너지면? 못 건넌다." B구역이 무너지면? 못 건넌다." 즉, 내가 강을 못 건너는 상황(시스템 고장)은 A가 망하거나 OR B가 망하거나 둘 중 하나만 일어나도 발생한다.
• 결론: 직렬 연결에서 고장(재해)이 발생하는 조건은 A OR B 이다.

4.2. 병렬 연결 (두 개의 다리) → 왜 AND 게이트인가?

이번에는 강을 건너는 다리가 A대교와 B대교 두 개가 따로 있다고 상상해 본다. (병렬)

• 우리의 평소 생각 (성공 관점): "나는 A대교로 가도 되고 또는(OR) B대교로 가도 된다." $\rightarrow$ 그래서 병렬을 보면 자꾸 OR가 떠오른다.
• FTA의 생각 (고장 관점 - "언제 못 건너지?"): "A대교가 무너졌다. 망했나? 아니, B대교로 가면 된다.", B대교가 무너졌어. 망했나? 아니, A대교로 가면 된다." "내가 강을 아예 못 건너는 최악의 상황은 언제지?" 바로 A대교도 무너지고 그리고(AND) 동시에 B대교도 무너졌을 때이다.
• 결론: 병렬 연결에서 고장(재해)이 발생하는 조건은 A AND B이다.

4.3. 정리

구분	회로 연결 모양	성공(작동)하려면?	고장(망함)나려면? (FTA)
직렬	일렬 서기 (ㅡㅡ)	둘 다 필요함 (AND)	하나만 터져도 됨 (OR)
병렬	나란히 서기 (==)	하나만 있어도 됨 (OR)	둘 다 터져야 함 (AND)

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5. 문제

• 1. 다음 중 '최소 컷셋(Minimal Cut Set)'에 대한 설명으로 가장 올바른 것은 무엇인가?
  • A. 시스템의 신뢰도를 높이기 위해 중복 설계된 부품들의 집합이다.
  • B. 시스템이 정상 작동하기 위해 필요한 최소한의 부품 집합이다.
  • C. 시스템 고장을 일으키는 기본 사상의 집합 중, 그 중 하나라도 제거하면 시스템이 고장나지 않는 집합이다.
  • D. 시스템 고장을 일으키는 모든 기본 사상의 집합이다.
    
    
  • 정답: C
  • 설명: 최소 컷셋은 시스템 고장을 유발하는 '필요충분한' 최소한의 고장 요인 집합을 의미한다.
• 2. Top사상 $T$가 기본 사상 $A$, $B$의 OR 게이트로 연결되어 있다. ($T = A + B$) 이 시스템의 최소 컷셋(MCS)은 무엇인가?
  • A. {$A$},{$B$}
  • B. {$A,B$}
  • C. {$A$}
  • D. {$ϕ$}
    
    
  • 정답: A
  • 설명: OR 게이트는 A만 발생해도 고장, B만 발생해도 고장이므로 각각이 독립적인 최소 컷셋이 된다.
• 3. Top사상 $T$가 기본 사상 $X$, $Y$의 AND 게이트로 연결되어 있다. ($T = X \cdot Y$) 이 시스템의 최소 컷셋(MCS)은 무엇인가?
  • A. {$X,Y$}
  • B. 없음
  • C. {$X,Y$},{$X$}
  • D. {$X$},{$Y$}
    
    
  • 정답: A
  • 설명: AND 게이트는 입력된 모든 사상이 동시에 발생해야 출력이 발생하므로, X와 Y가 함께 묶여야 하나의 컷셋이 된다.
• 4. Top사상 T가 OR 게이트에 연결되어 있고, 그 입력으로 기본 사상 A와 중간 사상 E1이 있다. E1은 기본 사상 B, C의 AND 게이트이다. (논리식: $T=A+(B⋅C)).$ 이 시스템의 최소 컷셋을 모두 고르시오.
  • A. {$A,B,C$}
  • B. {$A$}, {$B,C$}
  • C. {$A,B$},{$A,C$}
  • D. {$A$},{$B$},{$C$}
  • 정답: B
  • 설명: 식을 전개하면 $T = A + BC$이다. 따라서 A 혼자 발생하거나(첫번째 항), B와 C가 동시에 발생(두 번째 항)하면 고장이 발생한다.

• 5. 어떤 FT도의 컷셋이 $K1​={A,B}$, $K2​={A,B,C}$, $K_3={D}$라고 구해졌다. 여기서 불필요한 것을 제거한 '최소 컷셋(MCS)'의 목록으로 맞는 것은?
  • A. {$A,B,C$},{$D$}
  • B. {$A,B$},{$D$}
  • C. {$A$},{$B$},{$C$}
  • D. {$A,B$},{$A,B,C$},{$D$}
    
    
  • 정답: B
  • 설명: 집합 포함 관계에서 ${A, B} \subset {A, B, C}$이므로, 더 작은 집합인 ${A, B}$만 남기고 큰 집합은 제거한다(흡수 법칙).
• 6. 다음 중 '최소 패스셋(Minimal Path Set)'을 구하는 방법으로 가장 적절한 것은?
  • A. 구해진 최소 컷셋의 여집합을 모두 구한다.
  • B. 기본 사상들을 무작위로 조합하여 시스템이 작동하는지 테스트한다.
  • C. 모든 기본 사상을 곱(AND)한 값을 구한다.
  • D. FT도의 모든 OR 게이트를 AND로, AND 게이트를 OR로 바꾼 'Dual FT'의 최소 컷셋을 구한다.
    
    
  • 정답: D
  • 설명: 고장(Failure) 관점의 FT를 성공(Success) 관점으로 뒤집으면(Dual), 컷셋을 구하는 방식 그대로 패스셋을 구할 수 있다.
• 7. 논리식 $T = A \cdot B$ (AND 게이트) 시스템의 '최소 패스셋(Minimal Path Set)'은 무엇인가?
  • A. {$A,B$}
  • B. {$A$},{$B$}
  • C. 없음
  • D. {$A$}
    
    
  • 정답: D
  • 설명: $A$와 $B$가 병렬로 연결된 셈(시스템 관점에서는 둘 다 고장나야 멈춤)이므로, $A$ 하나만 살아도 시스템은 살고, $B$ 하나만 살아도 시스템은 산다.
• 8. 다음 논리식의 최소 컷셋을 구하시오. (불대수 흡수 법칙 활용) 식: $T = A + (A \cdot B)$
  • A. {$A$}
  • B. {$A$}, {$A,B$}
  • C. {$A,B$}
  • D. {$ϕ$}
    
    
  • 정답: A
  • 설명: 홉수 법칙($A + AB = A$)에 의해 $A$가 발생하면 $B$의 여부와 상관없이 시스템은 고장난다. 따라서 최소 컷셋은 ${A}$ 하나이다.
• 9. 최소 컷셋(MCS)을 구하는 것이 안전 공학에서 중요한 이유로 가장 적절한 것은?
  
  • A. 시스템의 수명을 계산하기 위해서
  • B. 시스템의 가장 취약한 부분을 찾아내서 중점적으로 관리하기 위해서
  • C. 부품의 재고 관리를 효율적으로 하기 위해서
  • D. 작업자의 작업 시간을 단축하기 위해서
    
    
  • 정답: B
  • 설명: MCS는 시스템을 망가뜨리는 가장 지름길이므로, 이를 파악해 확률을 낮추거나 설계를 변경하는 것이 핵심이다.
• 10. 어떤 시스템의 최소 패스셋이 ${A, B}, {C}$라고 합니다. 이 시스템이 정상 작동하기 위한 조건은?
  • A. $C$가 고장나면 시스템은 멈춘다.
  • B. $A$가 고장나면 시스템은 멈춘다.
  • C. $A$와 $B$가 모두 정상 작동하거나, 또는 $C$가 정상 작동해야 한다.
  • D. $A,B,C$가 모두 정상 작동해야 한다.
    
    
  • 정답: C
  • 설명: 패스셋은 '성공 경로'이다. 첫 번째 경로($A,B$ 모두 생존)가 성공하거나, 두 번째 경로($C$ 생존)가 성공하면 된다.