1. 기체의 법칙과 이상 기체 상태 방정식 (PV=nRT)

🧪 기체의 법칙과 이상 기체 상태 방정식 ($PV=nRT$)

핵심 내용: 보일·샤를 법칙의 직관적 이해, $PV=nRT$ 식 유도 및 변수 간 관계 해석.

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1. 기체를 설명하는 4가지 변수

기체의 상태를 정의하려면 4가지 변수를 알아야 한다. 이 변수들이 서로 어떻게 영향을 주고받는지 파악하는 것이 핵심이다.

1. 압력 ($P$, Pressure): 기체 분자가 벽면에 충돌하는 힘이다. (단위: $\text{atm}$, $\text{Pa}$, $\text{mmHg}$)
2. 부피 ($V$, Volume): 기체가 차지하는 공간의 크기다. (단위: $\text{L}$, $\text{mL}$)
3. 온도 ($T$, Temperature): 기체 분자의 운동 에너지 척도다. 반드시 절대 온도($K$)를 사용해야 한다.
   • $K = {}^\circ\text{C} + 273$ (섭씨온도에 273을 더한다)
4. 몰수 ($n$, Moles): 기체 분자의 양(개수)이다. (단위: $\text{mol}$)

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2. 기체 법칙의 기초

이상 기체 상태 방정식은 다음 세 가지 법칙의 통합이다. 각각의 비례/반비례 관계를 명확히 해야 한다.

① 보일 법칙 (Boyle's Law)

"온도가 일정할 때, 기체의 압력과 부피는 반비례한다."

• 원리: 외부 압력이 커지면 기체 분자가 활동할 공간이 줄어든다.
• 수식: $P \propto \frac{1}{V}$ 또는 $PV = k(\text{일정})$
• 공식: $$P_1V_1 = P_2V_2$$

② 샤를 법칙 (Charles's Law)

"압력이 일정할 때, 기체의 부피는 절대 온도에 비례한다."

• 원리: 온도가 높아지면 기체 분자의 운동 속도가 빨라져 벽을 더 세게 밀어내므로 부피가 커진다.
• 주의: 그래프를 외삽했을 때 부피가 0이 되는 지점은 $-273^\circ\text{C}$ (즉 $0K$)다.
  • 외삽이란: 주어진 관찰 범위를 넘어서는 미지의 값을 기존 데이터 사이의 관계와 추세에 기초하여 추정하는 수치해석적 기법 
• 수식: $V \propto T$
• 공식: $$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$$

③ 아보가드로 법칙 (Avogadro's Law)

"온도와 압력이 일정할 때, 기체의 부피는 몰수(분자 수)에 비례한다."

• 원리: 기체의 종류(수소, 산소 등)와 무관하게 같은 부피 안에는 같은 수의 분자가 들어있다.
• 수식: $V \propto n$
• 공식: $$\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2}$$

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3. 이상 기체 상태 방정식 ($PV=nRT$)

위의 세 가지 법칙을 하나로 통합하면 화학에서 가장 중요한 식이 유도된다.

1. $V \propto \frac{1}{P}$ (보일)
2. $V \propto T$ (샤를)
3. $V \propto n$ (아보가드로)

이를 종합하면 $V \propto \frac{nT}{P}$가 되며, 비례 상수 기체 상수($R$)를 도입하여 등식으로 만든다.

$$V = R \frac{nT}{P} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{PV = nRT}$$

※ 기체 상수 $R$ 값의 유도
표준 상태($0^\circ\text{C}, 1\text{atm}$)에서 기체 $1\text{mol}$의 부피는 $22.4\text{L}$다.
$$R = \frac{PV}{nT} = \frac{1\text{atm} \times 22.4\text{L}}{1\text{mol} \times 273K} \approx \mathbf{0.082} \ (\text{atm}\cdot\text{L} / \text{mol}\cdot K)$$

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4. 식의 심화 변형: 분자량과 밀도 구하기

시험에는 단순 대입보다 식을 변형하여 분자량($M$)이나 밀도($d$)를 묻는 문제가 주로 출제된다.

① 분자량($M$) 구하기

몰수 $n = \frac{w(\text{질량})}{M(\text{분자량})}$ 임을 이용하여 대입한다.
$$PV = \frac{w}{M}RT \quad \Rightarrow \quad \mathbf{M = \frac{wRT}{PV}}$$

② 밀도($d$) 포함 식 만들기

밀도 $d = \frac{w}{V}$ 이므로, 위 식을 재배열한다.
$$P = \frac{w}{V} \cdot \frac{RT}{M} = d \frac{RT}{M} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{PM = dRT}$$

암기 팁: $PM = dRT$ $\rightarrow$ "오후(PM)에는 더럽게(dRT) 졸리다"로 기억하면 유용하다.

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5. 핵심 요약

1. 단위 주의: 압력($\text{atm}$), 부피($\text{L}$), 온도($K$) 단위를 반드시 통일해야 계산 실수를 막는다.
2. 그래프 해석: $P-V$ 그래프나 $V-T$ 그래프에서 기울기와 면적의 의미를 파악해야 한다.
3. 이상 기체: 실제 기체와 달리 분자 간 인력과 분자 자체의 부피를 무시하는 이상적인 모델임을 인지한다.